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用连续性来定义极限
呓语录

转自:http://www.changhai.org

论时钟佯谬

- 卢昌海 -

- 节录 -

时钟佯谬 - 又称为双生子佯谬 - 是狭义相对论中最著名的佯谬。对于这一佯谬,一般的观点是:到异地旅行的宇航员 B 与留在地球上的 A 不同,他经历了惯性力场的不可忽视的作用,对此的讨论得运用广义相对论。但几乎所有的作者又都补上一句:适当地运用狭义相对论也能够澄清这一佯谬。[1]

尽管人们已经有了许多方案,旨在用狭义相对论解释时钟佯谬,本文却试图说明:在狭义相对论范围内不可能解释时钟佯谬。我们首先注意下述一般性论据:

1. 狭义相对论的时钟延缓和量尺收缩效应是纯运动学的,即纯属运动与操作定义的结合。在纯运动学范围内,A B 是完全对称的,从 B 看来 A 也经历了加速运动。在动力学范围内,是否经历加速运动是不由表观加速度决定的,但在运动学范围内却连加速度也是相对的。这样,在狭义相对论范围内 A 和 B 确实经历了对称的运动,佯谬是无法消除的。

2. 考虑这样一个情形:A 和 B 同时从地球出发,分别到位于相反方向上、离地球同样遥远的两个星球上去旅行,旅行速度均为 v。从 A 看来,B 相对于自己以 2v/(1 + v2/c2) 运动,从而应该比自己年轻。但从 B 看来则恰好相反。由于这里两者不仅从运动学上,而且从动力学上看都是对称的,因此所有在狭义相对论框架中的解释都无效,佯谬无法消除。这一论据是给不承认论据 1 的人的,它构造了一个动力学上也相同的对称运动,尽管单凭运动学意义上的对称性就足以排斥狭义相对论的解释 (即论据 1 的观点)。

3. 如果承认狭义相对论的解释有效,那么 B 比 A 年轻的机制在于运动中的 Lorentz 变换 (所有这类解释当然全仗 Lorentz 变换)。这是来自于运动对时钟及量尺的影响 (也可以说是来源于狭义相对论的两条公理,但总之不是什么力场的作用)。但我们也知道,广义相对论同样给出了时钟佯谬的解释,但这一解释表明 B 比 A 年轻是由于 B 所受惯性力场的作用。这是两种不同的的物理机制,从而旅行的总效果 (即 B 比 A 年轻的量) 就应该是归属于这两种机制 - 运动学机制及动力学机制 - 的效果总和,这显然大了一倍。这也说明我们得放弃狭义相对论的解释 (如果不想放弃广义相对论解释的话)。

以上是三点一般性的论据,最本质的是 1。我们将分析几个方案 - 几种狭义相对论的解释。我们会看到,这类解释如何将不对称性悄悄地放进去,一旦看到了这点,只要稍作几个符号的对调立即可以得出相反的结论,因此佯谬依然存在。

方案一:设 A 和 B 的心跳均为每秒一次,两人各携带仪器,与自己心跳同步地发射闪光,使对方知道自己的心率。我们用 S 和 S' 表示 A 和 B 所在的参照系。 A 认为 B 的旅行持续了 T 秒,A 自己心跳 T 次,仪器闪光 T 次。在 B 远离期间,因 Doppler 效应,A 接到 B 的闪光频率为 ν1 = √(c-v)/(c+v),而在 B 返回期间则为 ν2 = √(c+v)/(c-v)。 B 远离期间的最后一次闪光在飞船掉头后 Tv/2c 到达 A,因此 A 收到 B 远离期间发出的频率为 ν1 的闪光持续时间为 t1 = T/2 + Tv/2c。同样,B 返回期间的第一次闪光在飞船掉头后 Tv/2c 到达 A,最后一个信号则在掉头后 T/2 到达 A,持续时间为 t2 = T/2 - Tv/2c。因此 A 收到的总闪光次数为:

ν1t1 + ν2t2 = T (1-v2/c2)1/2

可见在 A 看来 B 比 A 年轻了。另一方面,在 B 看来自己的航行时间为 T (1-v2/c2)1/2 (因尺缩效应),心跳为 T (1-v2/c2)1/2 次,在他远离地球 (B 看来即 A 远离自己) 时接到 A 的闪光信号频率为 ν1 = √(c-v)/(c+v),在时间间隔 t1' = T/2 (1-v2/c2)1/2 内他都收到这个频率的闪光;而他返航时接到的闪光频率为 ν2 = √(c+v)/(c-v),持续时间为 t2' = T/2 (1-v2/c2)1/2,因此 B 收到的总闪光次数为:

ν1t1' + ν2t2' = T

可见 A 年老了。

这就是各种方案中的一个。由于这一方案较为直接地涉及了生理过程:心跳,因此往往被引用 [2]。这一方案给人印象最深的是在 S' 系中运用了尺缩效应而在 S 系中没有用,并且 t1' ≠ t1 及 t2' ≠ t2。为什么 t1' = T/2 (1-v2/c2)1/2 呢?在 B 看来 A 远离自己时发出的最后一次闪光经过 Tv/2c (1-v2/c2)1/2 才到达自己,因此 t1' 应该为 T/2 (1-v2/c2)1/2 (1 + v/c)。这样的考虑还将得出 t2' 应该为 T/2 (1-v2/c2)1/2 (1 - v/c),由此得到 B 收到的闪光次数为 T (1-v2/c2)1/2(1-v2/c2)1/2。也就是说 A 仍比自己年轻,佯谬仍存在。

原方案中 t1' = T/2 (1-v2/c2)1/2 意味着在 S' 系中赖以判断 Doppler 效应是红移还是蓝移的不是 A 发出闪光时相对于 B 是远离还是趋近,而是 B 收到闪光时 A 相对于 B 是远离还是趋近。但在 S 中却是以 B 发出闪光时相对于 A 如何运动为判断依据的,即在 S 系中以光源的远离还是趋近来决定红移或蓝移,而在 S' 系中却以接收器的远离还是趋近来决定红移或蓝移。不对称性就这样进入了证明之中。

(... ... 构造对称性及进一步讨论从略 ... ...)

(... ... 其它方案的讨论从略 ... ...)

通过这些论证,我们看到,从纯粹运动学角度看一切运动都是相对的,加速度也是如此。而狭义相对论的解释所依据的理论都是纯运动学的,它无法显示 A B 在动力学上的不对称性,也就无法消除佯谬。

最后我们还要说明,迄今为止在广义相对论范围内的讨论都是近似程度很低的 (相对于我们感兴趣的速度、距离而言),因为运用公式:

Δt2 = Δt1 (1 + ΔΦ/c2)

的条件是 ΔΦ/c2 << 1,即 vL/c2τ << 1 (τ 是加速过程持续时间)。但我们感兴趣的是 v ~ c, L 很大 (恒星际),而计算中又要让 τ 小到可以忽略,这大大破坏了 ΔΦ/c2 << 1 的条件。

注释

[1] 比如李文博 «狭义相对论»,魏凤文 «时空物理纵横»,钱尚武 «大学物理» 1982 年第 7 期等。

[2] 参阅上述魏凤文的书。

一九九零年八月二十八日写于杭州
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狭义相对论可以解决时钟佯谬吗?

- 卢昌海 -

- 节录 -

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在 论时钟佯谬 一文中我提出在狭义相对论范围内不可能完全解决时钟佯谬。那里的基本结论本文依然认同,但在某些具体方面我有了不同的想法。最重要的一点就是那时我还不清楚,为什么狭义相对论会给出与实验相吻合的时钟延缓效应?既然它不适用于解释这一问题,这种吻合不是太惊人了吗?本文就要来说明这一点,并进一步阐述狭义相对论不能解决时钟佯谬的原因。为行文简洁,下面以 SR 和 GR 分别表示狭义相对论和广义相对论。

就基本思想而言,本文和 论时钟佯谬 是一致的,即造成时钟佯谬的根源是动力学上的不对称性,而这并非属于 SR 的适用范围。下面就具体分析两种方案,借此可以看出就 “解释” 一词的严格含义而言,这些方案并不成功。

第一种方案将宇航员从地球到目的星并返回地球的过程看作: (1) 宇航员从地球系 S 转入以 v 向目的星运动的惯性系 S'; (2) 到达目的星后从 S' 系转入以 v 向地球运动的惯性系 S"。对时钟佯谬的 “解释” 如下:在从 S' 系转入 S" 系之前在宇航员看来地球的钟比目的星的钟慢 vL/c2 (L 是地球与目的星的本征距离),但在转入 S" 系后却相反,地球的钟反而超前 vL/c2。因此宇航员发现在这一瞬间地球的钟走过了一段时间 2vL/c2。由此宇航员认为在整个航程中地球的钟走过的总时间为 T = T'(1 - v2/c2)1/2 + 2vL/c2 = 2L/v (T' 为宇航员经历的总时间,即 2L(1 - v2/c2)1/2/v, T' 后面的因子是因为在宇航员看来地球的钟有时钟延缓效应),这就 “解决” 了时钟佯谬。可是问题在于,在宇航员尚未从 S 系转入 S' 系时会发现 S' 系中的时钟系统并未校准,这样他就没有理由认为在转入 S' 系后可以信赖这种时钟系统。可是当他转入 S' 系后却发现 S' 系的时钟竟然是对准了的,相反地球的钟却比目的星的钟慢了 vL/c2 (这两个钟他在 S 系时是对准的)。在从 S' 系转入 S" 系以及最后从 S" 系转回到 S 系也都有同样的现象出现。如果这位宇航员是一位富有笛卡儿精神的学者的话,他必定会觉察到问题的关键出在几次变换参照系的过程中,它使时钟发生了难以理解的变化。不弄清这种变化的缘由便不能算是解决了时钟佯谬,而这恰恰是 SR 所不能胜任的。

第二种方案就是在 论时钟佯谬 中详细讨论过的方案。这种方案中的不对称性已经被指明,即在地球看来,飞船远离期间发出的最后一次闪光到达地球 (这时飞船已经往回飞了一段时间) 之前地球一直收到红移信号;但在飞船看来,地球一转为靠近状态,自己立即开始收到蓝移信号,尽管有的信号是地球在远离期间发出的。什么叫做解释?一个解释最起码要对问题所涉及的物理过程阐述清楚。在这里,要想弄清楚时钟佯谬,就必须解释为什么在地球远离期间发出的一部分信号竟然会由红移变成蓝移?事实上我们知道,那是因为在飞船转向过程中产生的类引力场对这些信号产生了引力蓝移效应,但这却是属于 GR 而非 SR 的内容 [6]。

在我坚持认为 SR 无法解决时钟佯谬之时,有一个疑问是必须解决的,那就是为什么诸如 μ 介子衰变等实验均表明 SR 给出的计算值是正确的? SR 给出的计算值之所以正确,是因为在宇航员经加速从一个参照系转入另一个参照系的初末两个状态中 SR 都适用。因此描述加速过程的任何理论给出的结果都必须与 SR 对初末状态的描述相衔接。SR 预言了总状态,不涉及过程,就象平衡态热力学可以描述体系从一个状态转入另一个状态时两个状态间的关系,却不能描述转变的过程 (倘若这种过程非准静态);而可以描述后者的理论 - 非平衡态理论 - 又必须在初末态与之衔接。比如熵的改变 ΔS 既可以由初末态确定,又 (在原则上) 可以由非平衡态理论来确定,但两者必须一致。回到我们的问题上来,加速过程中时钟读数或信号频率的变化既可以由 SR 给出,也可以由 GR 给出,两者一致。这就是 SR 能够预言实验结果的原因。但它是知其然而不知其所以然,因此不能算是解决了问题。此外还有一个限制就是加速过程必须极其迅速,本征时间必须近似为零,否则 SR 仍无法运用,连结果也不能预言。 μ 介子衰变实验属于加速过程极其迅速的,而原子钟环球实验则不是,那里加速过程始终存在,从而必须计及 GR 的效应,而且这种效应无法用 SR 预言。

最后总结一下,时钟佯谬的 “谬” 之所在就是为什么地球上的观测者和宇航员的运动从运动学角度看是完全对称的,却产生了不对称的动力学效应?说到底,也就是为什么加速度虽然 (和速度一样) 在运动学上是相对的,但会导致绝对的效应?这是典型的 GR 论题,即加速度相对于宇宙众星和相对于宇航员会导致不同的结果,因此 SR 无法解决时钟佯谬。不过倘若加速过程极短 (本征时间近似为零) 则 SR 可以给出正确的结果。

...

一九九一年十二月二十七日写于复旦大学
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转自互联网:
1971年,美国人Hafele和Keating设计了四只铯原子钟,由飞机带着其中的两只往东飞,当环绕地球一周后回到地面时,它们比放在地球上的铯原子钟的平均读数慢了59×10(-9次方)秒;而另两只向西环球飞行一周后,其平均读数比地面钟快了273×10(-9次方)秒。这一结果同广义相对论预言值非常接近:

               Eastward   Westward(ns)

Gravitational  144 +/-14  179 +/-18

Kinematic     -184 +/-18  96 +/-10

Net effect    -40 +/-23   275 +/-21

Observed:     -59 +/-10   273 +/-21


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